三角形重心有什么意义
为什么要学习三角形重心？
三角形重心的意义？
重心在数学和物理方面都有其重要作用。三角形三条中线的交点叫做三角形重心。
1、数学角度说,重心来自三角形三中线的交点,反过来说,知道重心点,任意一角拉一条过重心的线就是中线.中线的一些数学意义众所周知。
2、从物理学角度说,重心就是该三角形的平衡点,也是质点所在.
重心定理的意义？
重心定理，是指三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。该交点叫做三角形的重心。 三角形的重心是各中线的交点，重心定理是说三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的2/3。 物理学中可以使用微积分求出中心所在坐标。同样，利用公边定理及三角形的等高可轻易求得三条中线分得的六个三角形面积相等，通过面积亦可证明。
三角形重心的定义？
三角形具有五心:外心，内心，垂心，旁心，重心。
1、外心:三角形三条边的垂直平分线的交点，也就是三角形外接圆的圆心，简称为外心；
2、内心:三角形三个内角平分线的交点，也就是三角形内切圆的圆心，简称为内心；
3、垂心:三角形三边上的高的交点，就是三角形的垂心；
4、旁心:三角形的一个内角平分线其它两个内角的外角的平分线的交点，也就是三角形旁切圆的圆心，简称为旁心；
压轴戏，重头戏往往在最后，我们最后来看什么是重心:
5、重心:三角形三条边上的中线的交点叫做三角形的重心。
三角形重心的定义？
三角形重心的定义是:从三角形的每个顶点向这个顶点的对边作平分线，那么，这样三条平分线的交点就是这个三角形的的重心。细心的读者可以作这样一个实验，选择一个材质密度和厚度绝对平均的三角板，根据三角形重心定义找出这个三角形的重心，然后用一条线段通过重心提起这个三角形，看这个三角形是否处于水平状态。
三角形重心的定义？
三角形重心是指几何数学中三角形三边中线的交点。三角形有且只有一个重心。
当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。
性质证明
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

三角形重心
例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。
求证：EG=1/2CG
证明：过E作EH∥BF交AC于H。
∵AE=BE，EH//BF
∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)
又∵ AF=CF
∴HF=1/2CF
∴HF:CF=1/2
∵EH∥BF
∴EG:CG=HF:CF=1/2
∴EG=1/2CG

三角形重心
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
证明方法：
在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA#39、BOB#39、COC#39分别为a、b、c边上的中线。根据重心性质知：
OA#39=1/3AA#39
OB#39=1/3BB#39
OC#39=1/3CC#39
过O，A分别作a边上高OH#39，AH
可知OH#39=1/3AH
则，S △BOC=1/2×OH#39a=1/2×1/3AHa=1/3S △ABC
同理可证S △AOC=1/3S △ABC
S △AOB=1/3S △ABC
所以，S △BOC=S △AOC=S △AOB
3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形）
证法一：
设三角形三个顶点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3) 平面上任意一点为（x 0，y 0） 则该点到三顶点距离平方和为：
(x 1-x 0) 2 (y 1-y 0) 2 (x 2-x 0) 2 (y 2-y 0) 2 (x 3-x 0) 2 (y 3-y 0) 2
=3x 0 2-2x 0(x 1 x 2 x 3) 3y 0 2-2 0y(y 1 y 2 y 3) x 1 2 x 2 2 x 3 2 y 1 2 y 2 2 y 3 2
=3[x 0-1/3*(x 1 x 2 x 3)] 2 3[y 0-1/3*(y 1 y 2 y 3)] 2 x 1 2 x 2 2 x 3 2 y 1 2 y 2 2 y 3 2-1/3(x 1 x 2 x 3) 2-1/3(y 1 y 2 y 3) 2
显然当x=(x 1 x 2 x 3)/3,y=(y 1 y 2 y 3)/3（ 重心坐标）时
上式取得最小值x 1 2 x 2 2 x 3 2 y 1 2 y 2 2 y 3 2-1/3(x 1 x 2 x 3) 2-1/3(y 1 y 2 y 3) 2
最终得出结论。
证法二：由性质8（卡诺重心定理）可得出结论。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，
即其坐标为[(X 1 X 2 X 3)/3,(Y 1 Y 2 Y 3)/3]；
空间 直角坐标系—— 横坐标：(X 1 X 2 X 3)/3， 纵坐标：(Y 1 Y 2 Y 3)/3
5、三角形内到三边距离之积最大的点。

三角形重心
证明：如图所示，点P是△ABC内的一点，连接PA，PB，PC，作点P到BC、AC、AB的垂线段，垂足分别为D、E、F，延长AP交BC于M。记△ABC的面积为S，BC为a，AC为b，AB为c，PD为a#39，PE为b#39，PF为c#39。
∵aa#39/2 bb#39/2 cc#39/2=S△BCP S△ACP S△ABP=S
∴aa#39 bb#39 cc#39=2S
由 均值不等式知，[(aa#39 bb#39 cc#39)/3]^3≥aa#39bb#39cc#39=(abc)*(a#39b#39c#39)，当且仅当aa#39=bb#39=cc#39时等号成立。
∴a#39b#39c#39≤[(aa#39 bb#39 cc#39)/3]^3/(abc)=(S/3)^3/(abc)=S^3/(27abc)，当且仅当aa#39=bb#39=cc#39时等号成立。
∴a#39b#39c#39只有当aa#39=bb#39=cc#39时才会取得最大值。
此时，S△ABP=cc#39/2=bb#39/2=S△ACP，由燕尾定理知，BM/CM=S△ABP/S△ACP=1。
∴此时BM=CM，M是BC的中点，AM是△ABC的中线，P在△ABC中BC边的中线上。
同理可证此时P在△ABC中AB、AC边的中线上。
∴当a#39b#39c#39最大时，P是△ABC的重心，即重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
6、在△ABC中，若MA向量 MB向量 MC向量=0（向量） ，则M点为△ABC的重心，反之也成立。
7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA 向量OB 向量OC）
8、卡诺重心定理：若G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点，则PA^2 PB^2 PC^2=GA^2 GB^2 GC^2 3PG^2=1/3(a^2 b^2 c^2) 3PG^2
证明：GA^2 PG^2 = PA^2 2GA*PGcos(AGP)
GB^2 PG^2 = PB^2 2GB*PGcos(BGP)
GC^2 PG^2 = PC^2 2GC*PGcos(CGP)
GA^2 GB^2 GC^2 3PG^2 = PA^2 PB^2 PC^2 2PG[GA*cos(AGP) GB*cos(BGP) GC*cos(CGP)]
延长射线AG,交BC于D,继续延长,使得GD = DE = AG/2.
连接EB,EC,
四边形GBEC为平行四边形.
EB = GC
延长射线PG,
过点B作PG的延长线的垂线,垂足为F.
过点E作PG的延长线的垂线,垂足为H.
BE与PG的延长线的交点为点Q.
则,因GC//BE,角CGP = 角EQG = 角BQF
GH = GE*cos(EGH) = GA*cos(AGP)
HF = EB*cos(BQF) = GC*cos(EQG) = GC*cos(CGP)
而
GH HF = GF = GB*cos(BGF) = GB*cos(PI-BGP) = -GB*cos(BGP),
因此,
GA*cos(AGP) GB*cos(BGP) GC*cos(CGP) = 0,
GA^2 GB^2 GC^2 3PG^2

三角形重心
= PA^2 PB^2 PC^2 2PG[GA*cos(AGP) GB*cos(BGP) GC*cos(CGP)]
= PA^2 PB^2 PC^2
利用上面的结论,
令P与A重合,有
GA^2 GB^2 GC^2 3GA^2
= AB^2 AC^2 ...(1)
令P与B重合,有
GA^2 GB^2 GC^2 3GB^2
= AB^2 BC^2 ...(2)
令P与C重合,有
GA^2 GB^2 GC^2 3GC^2
= BC^2 AC^2 ...(3)
(1),(2),(3)相加,有
3[GA^2 GB^2 GC^2] 3[GA^2 GB^2 GC^2] = 2[AB^2 BC^2 AC^2],
GA^2 GB^2 GC^2 = [AB^2 BC^2 AC^2]/3 = (a^2 b^2 c^2)/3.
证毕.