三角形中线定理证明方法 三角形中线定理证明方法？

三角形中线定理证明方法

三角形中线定理证明方法？

三角形中线定理证明方法？

定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。定理公式：对任意三角形△ABC，设I是线段BC的中点，AI为中线，则有如下关系：AB² AC²=2(BI² AI²)或作AB² AC²=1/2（BC）² 2AI²

证明：勾股定理

如何用三角形定理证明中线定理？

证法1 先做图,做出过B, C的两条中线,分别交AC于M,交AB于N,所以M,N是AC,AB的中点.连接MN 设向量BP=λ向量PM,向量CP=μ向量PN(λ,μ为不等于0的实数) 向量BC=向量PC-向量PB=向量BP-向量CP=λ向量PM-μ向量PN, 向量NM=向量PM-向量PN,而向量BC=2向量NM 所以,λ向量PM-μ向量PN=2向量PM-2向量PN 即(λ-2)向量PM-(μ-2)向量PN=O向量 因为向量PM与向量PN不共线,所以λ=2,μ=2 所以向量BP=2向量PM 由此证得两中线交点把BM分成2:1.同理可证另一条中线与BM的交点也有此性质,故三角形的三条中线交于一点，并平分每条比为1：2 得证. 证法2 作出一个三角形ABC,设D,E,F分别是BC,CA,AB的中点,在平面上任取一点O,设向量OA=a,向量OB=b，向量OC=c 则向量OD=1/2（b c),向量OF=1/2(a b),向量OE=1/2(c a). 再设P为AD上的三等分点，满足向量AP=2向量PD， 则向量OP=1/3向量OA 2/3OD=1/2a 2/3 * 1/2(a b)=1/3(a b c) 同理可证，P也是BE，CF的三等分点，因此三条中线交于点P。 三角形的3中线交于一点，并平分每条比为1：2

中线定理的4种证法？

证法一（纯几何法）：

由平方关系，联想到勾股定理，为此构造直角三角形。

过点A作AE⊥BC，垂足为E，根据△ABC的不同形状，垂足E可能在线段BD上、线段CD上、BC的延长线或CB的延长线上，当然E还可能与D点重合，此时△ABC是等腰三角形，结论显然成立。下面我们只证明垂足E在线段CD上的情况，其他情况类似证明。

证法二（解析几何法）：

解析几何法的特点在于计算，需要用到了两点之间的距离公式。

证法三（余弦定理）：

使用余弦定理证明也很简洁。

证法四（向量法）